Depois de termos abordado os conceitos básicos sobre probabilidades, vamos agora analisar algumas propriedades associadas às probabilidades:

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1) Propriedade comutativa

2) Propriedade associativa

3) Elemento neutro

4) Elemento absorvente

5) Idempotência

6) Propriedade distributiva

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1) Propriedade comutativa

* AUB = BUA

* A∩B = B∩A

 

Esta propriedade é apenas uma questão de lógica.

Com efeito – no caso da reunião de dois elementos “A” e “B” – são equivalentes a reunião de “A” com “B” e a reunião de “B” com “A”, dado que em qualquer dos casos se verificam os três “ou”: ou a ocorrência de “A”; ou a ocorrência de “B”; ou a ocorrência de “A” e de “B” em simultâneo.

Da mesma forma, são equivalentes a intersecção de “A” com “B” e a intersecção de “B” com “A”, dado que ambas se referem ao espaço comum entre os dois elementos.

 

2) Propriedade associativa

* (AUB)UC = AU(BUC)

* (A∩B)∩C = A∩(B∩C)

 

De forma semelhante ao que verificámos no caso da propriedade comutativa – e assumindo que “A”, “B” e “C” ocupam as mesmas posições no espaço de resultados – é indiferente sobrepor primeiro “A” e “B” e depois “C”, ou então quaisquer outras combinações de dois elementos, seguindo-se o restante.

Tal facto tanto se verifica na reunião como na intersecção dos referidos elementos.

op1

 

3) Elemento neutro

Esta propriedade pretende demonstrar duas situações em que um elemento “A”, após uma operação com outro elemento, gera um resultado final igual a si próprio:

 

* AUØ = A

(Ø = conjunto vazio)

Sendo “Ø” uma representação sem conteúdo, duas das três possibilidades da reunião não têm sentido, já que a reunião de “A” com o conjunto vazio “Ø” corresponde: ou à ocorrência de “A”, ou à ocorrência de “nada” (ocorrência de “Ø”); ou à ocorrência simultânea de “A” e de “nada”.

Assim, a reunião de “A” com o conjunto vazio “Ø” é igual a “A”.

 

* A∩Ω = A

“A”, estando obrigatoriamente contido nos limites do espaço de resultados “Ω” e sobreposto neste, terá como espaço comum com o espaço de resultados a área que ocupa sobre este.

Daí que a intersecção de “A” com o espaço de resultados “Ω” seja igual a “A”.

4) Elemento absorvente

Nas seguintes situações, o elemento em estudo “absorve A”:

 

* AUΩ = Ω

A reunião de um qualquer elemento – no caso, “A” – com o espaço de resultados tem como resultado o próprio espaço de resultados.

Tal conclusão é óbvia, dado que o espaço de resultados corresponde à totalidade da área a partir da qual podemos encontrar “fragmentos” correspondentes às probabilidades existentes.

 

* A∩Ø = Ø

Conforme já referimos anteriormente, a reunião de um elemento “A” com “nada” (“Ø”), resulta num conjunto vazio.

 

5) Idempotência

* AUA = A

* A∩A = A

 

Tanto a reunião de “A” com “A” como a intersecção de “A” com “A” na sobreposição de dois elementos iguais, sendo o resultado final o próprio elemento “A”.

 

6) Propriedade distributiva

Às seguintes igualdades aplica-se a propriedade distributiva de uma forma semelhante à sua aplicação em operações aritméticas.

 

* AU(B∩C) = (AUB)∩(AUC)

A reunião de “A” com a intersecção de “B” com “C” é igual à intersecção da reunião de “A” com “B” com a reunião de “A” com “C”

– 1º membro

op11

 

-2º membro

op12

 

* A∩(BUC) = (A∩B)U(A∩C)

A intersecção de “A” com a reunião de “B” com “C” é igual à reunião da intersecção de “A” com “B” com a intersecção de “A” com “C”

– 1º membro

op21

 

-2º membro

op22

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