imagesKN2X4833Porventura, o leitor já se terá questionado sobre determinadas curiosidades tais como a probabilidade de ganhar o Totobola ou o Euromilhões.

Através das permutações, dos arranjos e das combinações, poderemos responder a esses e outras questões

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Permutações

Imagine-se uma competição entre cinco elementos e que se pretende determinar as diferentes possibilidades existentes no que diz respeito à distribuição desses elementos em termos de classificação final.

Neste caso, um raciocínio possível a aplicar seria o seguinte:

– 1º lugar: 5 elementos possíveis

– 2º lugar: 4 elementos possíveis (um já foi selecionado para o 1º lugar)

– 3º lugar: 3 elementos possíveis (dois já foi selecionado para o 1º e 2º lugares)

– 4º lugar: 2 elementos possíveis (três já foi selecionado para o 1º,  2º e 3º lugares)

– 5º lugar: 1 elemento possíveis (quatro já foi selecionado para o 1º,  2º, 3º e 4º lugares)

Assim, teríamos 5 x 4 x3 x 2 x 1 = 120 possibilidades diferentes

Nota: a “ligação” entre vários elementos utilizados para um único cálculo é efectuada com a aplicação do sinal de multiplicação.
 

À multiplicação de um número inteiro com todos os números inteiros positivos anteriores ao primeiro dá-se o nome de permutação – que se representa por “!“.

Do exemplo anterior, em que temos cinco elementos a ser distribuídos por igual número de elementos, calculamos o número de permutações de cinco elementos: 5! ou 5 x 4 x 3 x 2 x 1.

De uma forma genérica, as permutações (P) de “n” elementos são representadas por: Pn = n!

Nota: numa permutação, a ordem de colocação dos elementos é importante (pois a troca de elementos altera a contagem das permutações)

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Arranjos simples

Admitamos o exemplo anterior, com a variação de querermos agora saber quantas são as possibilidades de colocação dos cinco elementos no pódio (três primeiros lugares).

Neste caso, aplicaríamos o mesmo raciocínio que foi utilizado relativamente à permutação desses cinco elementos mas “pararíamos” à contagem do terceiro elemento:

– 1º lugar: 5 elementos possíveis

– 2º lugar: 4 elementos possíveis (um já foi selecionado para o 1º lugar)

– 3º lugar: 3 elementos possíveis (dois já foi selecionado para o 1º e 2º lugares)

Agora, teríamos 5 x 4 x 3 = 60 hipóteses para compor o pódio (mais uma vez, a ordem de colocação é importante).

Neste caso, em que temos mais elementos do que os lugares para os distribuir, não estamos a efectuar permutações mas sim um arranjo simples (ou sem repetição).

Do exemplo anterior, em que temos cinco elementos (n=5) e pretendemos efectuar grupos de três, dizemos que estamos a efectuar um arranjo simples de cinco elementos, três a três.

Genericamente, os arranjos simples (A) efectuados com “n” elementos, “p” a “p” são represntados por nAp.

Definidos “n” e “p”, o número de arranjos simples pode ser definido por:

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Arranjos completos

Anteriormente, falámos sobre os exemplos do Totobola e do Euromilhões no sentido de compreender o quão ínfimas são as probabilidades de ganhar o primeiro prémio.

Comecemos pelo Totobola…

totobolaEste jogo consiste na aposta em 13 resultados de jogos de futebol, sendo que para cada um existem três resultados possíveis: 1, X e 2.

Havendo 3 hipóteses de resultado a replicar por 13 jogos, as possibilidades de chaves do Totobola são 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 = 313 = 1.594.323.

Sendo que existem 1.594.323 chaves possíveis e apenas uma será a vencedora (tal como nos arranjos simples, a ordem importa – pois cada um dos jogos é identificado por um número de 1 a 13), a probabilidade de ganhar o Totobola é de:

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Em casos semelhantes ao do Totoloto, em que determinámos todas as possibilidades de dispor um conjunto de resultados ao longo de um número definido de repetições, estamos a determinar arranjos completos (ou com repetição).

No caso do Totobola, em que temos três elementos (n = 3) que são repetidos ao longo de treze jogos (p = 13), o número de arranos completos (A’) são determinados por:

313 = 313 = 1.594.323

 

Generalizando: para um conjunto de “n” elementos, repetidos “p” vezes, as possibilidades de ocorrência são calculadas pela determinação dos arranjos completos:

np = np

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Combinações

A principal diferença entre combinações e arranjos reside no facto de nas combinações não interessar a ordem em que os elementos em estudo são dispostos, interessando apenas os elementos componentes da combinação.

sem nomeUm exemplo que envolve combinações é o Euromilhões. Analisaremos agora como funciona este jogo…

Inicialmente, existiam cinquenta números e nove estrelas numeradas – e o apostador deveria seleccionar cinco números e duas estrelas (ganhando o primeiro prémio caso acertasse nos sete números).

O número total de combinações do Euromilhões na sua formulação inicial era então determinado pelas combinações de 5 números de um total multiplicado pelas combinações de duas estrelas num total de nove.

Como calcular?

É necessária a aplicação da fórmula para a determinação de combinações (C) de um total de “n” elementos em conjuntos de “p” elementos, em que:

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Assim, o cálculo das possibilidades de combinação de números e estrelas seria determinado da seguinte forma:

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Sendo que apenas uma de mais de setenta e seis milhões de combinações possíveis seria a vencedora, a probabilidade de vencer o Euromilhões seria de:

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Porém, dado que recentemente foram introduzidas duas estrelas – passando o número destas a onze – o novo número de combinações na actualidade é dado por:

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A alteração do número de estrelas de nove para onze faz com que haja mais 50% de combinações de estrelas (36 para 55) relativamente à formulação inicial – o que se reflecte na redução em cerca de um terço das probabilidades iniciais de ganhar o primeiro prémio.

Sabendo – pelos dados calculados – que é setenta e três vezes mais provável ganhar o Totobola do que o Euromilhões e que uma aposta no Euromilhões é significativamente mais dispendiosa, vai apostar no Euromilhões nesta semana?

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