O conceito de probabilidade condicionada é de compreensão relacivamente fácil, embora possa gerar alguma confusão para os estudantes que abordam esta matéria primeira vez.

É a intenção deste artigo dissipar todas as dúvidas sobre este tipo de probabilidade – que, no fundo, não é mais do que a aplicação da Lei de Laplace para determinados casos particulares.

Vejamos o seguinte exemplo envolvendo um diagrama de Venn com dois elementos “A” e “B”:

imagem 2

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Considere-se um espaço de resultados composto por 100 elementos, que são distribuídos segundo as suas preferências relativamente às disciplinas de Matemática e de Português.

Considerem-se os acontecimentos: M = “gostar de Matemática” e P = “gostar de Português”.

Existem 35 alunos que não gostam de nenhuma das disciplinas (MUP); existem 25 alunos que gostam de Matemática (M) e existem 45 alunos que gostam de Português (P).

Porém, existem 5 alunos que gostam simultaneamente das duas disciplinas (M∩P). Assim existem 20 alunos (25-5) que gostam exclusivamente de Matemática e 40 (45-5) que gostam exclusivamente de Português.

Com todos estes dados, teríamos o seguinte diagrama referente ao número de ocorrências:

pc1

 

Se, com base no diagrama de Venn, fosse solicitado ao leitor o cálculo de todas as probabilidades possíveis, os resultados gerados seriam obtidos pela aplicação da Lei de Laplace. As principais conclusões seriam as seguintes:

* teríamos 100 casos possíveis (Ω = 100);

* a probabilidade de gostar exclusivamente de Matemática seria de 0,20 (20 em 100);

* a probabilidade de gostar exclusivamente de Português seria de 0,40 (40 em 100);

* a probabilidade de gostar de Matemática e de Português seria de 0,05 (5 em 100);

* a probabilidade de não gostar de nenhuma disciplina seria de 0,35 (35 em 100)

 

Todas estas probabilidades foram calculadas tendo como referência o espaço de resultados (Ω = 100). Será que calculámos todas as probabilidades possíveis?

Admitamos como nova referência os círculos “M” e “P”, separadamente (e incluindo em cada um a zona de intersecção).

* Relativamente ao círculo “M”, poderemos verificar que – de um total de 25 elementos – existem 5 que também gostam de Português.

Por outras palavras: a probabilidade de um aluno gostar simultaneamente de Português e Matemática (ou de Matemática e Português; a ordem é indiferente) de um total de 25 alunos que gostam de Matemática é de 0,20 (5 em 25).

Ou seja: a probabilidade de um aluno gostar de Português condicionada pelo facto de gostar de Matemática (pressuposto para gostar de Português) é de 0,20

* Relativamente ao círculo “P”, poderemos verificar que – de um total de 45 elementos – existem 5 que também gostam de Matemática.

Por outras palavras: a probabilidade de um aluno gostar simultaneamente de Matemática e Português (ou de Português e Matemática; a ordem é indiferente) de um total de 45 alunos que gostam de Português é de aproximadamente 0,11 (5 em 45).

Ou seja: a probabilidade de um aluno gostar de Matemática condicionada pelo facto de gostar de Português (pressuposto para gostar de Matemática) é de aproximadamente 0,11.

 

 

Generalizando: para dois acontecimentos “A” e “B”, a probabilidade de ocorrência de “A” condicionada pela ocorrência de “B” (ou seja: a probabilidade de ocorrer “A”, sabendo que tem-se como pressuposto a ocorrência de “B”) é dada pelo quociente entre o número de ocorrências da intersecção (ocorrência simultânea) de “A” com “B” e o número de ocorrências de “B”.

Uma forma equivalente de determinação da probabilidade condicionada obtém-se pela conversão do número de ocorrências em probabilidades tendo como referência o espaço de resultados.

Neste caso a probabilidade de “A” condicionada por “B” é representada por:

3

Nota: a aplicação de um denominador comum – quer à intersecção de “A” com “B”, quer à ocorrência de “B” – faz com que não ocorram alterações aos resultados já determinados. 

Aplicando a fórmula aos círculos “M” e “P”, teríamos:

* círculo “M”

41

* círculo “P”

42

 

Ainda relativamente à fórmula genérica da probabilidade de “A” condicionada por “B”, pode ser aplicada à intersecção a propriedade comutativa. Teríamos assim:

5

A probabilidade condicionada pode também ser utilizada em contagem de dados em tabelas.

Exemplo: vendas de automóveis num stand
1971 1972 1973 Total
Mini 300 350 350 1000
Renault 4 300 400 500 1200
Toyota Corolla 400 400 500 1300
Total 1000 1150 1350 3500

 

Eis alguns exemplos de probabilidades condicionadas:

* a probabilidade de vender um Mini em 1971 (ou seja: de vender um Mini sabendo que o ano de venda é 1971) é de 0,3 (300 Mini num total de 1000 carros vendidos em 1971);

* a probabilidade de vender um carro em 1972 sabendo que esse carro é um Renault 4 é de aproximadamente 0,33 (400 Renault 4 vendidos num total de 120o viaturas vendidas no triénio considerado);

* a probabilidade de vender um Toyota Corolla em 1973 (ou seja: de vender um Toyota Corolla sabendo que o ano de venda é 1973) é de aproximadamente 0,37 (500 Toyota Corolla num total de 1350 carros vendidos em 1973)

 

Associado à probabilidade condicionada, existe ainda o conceito de probabilidade total.

Com efeito – e usando a tabela do exemplo anterior – verificamos que existem duas vvariáveis – “ano” e “marca” – havendo uma dependência entre as duas.

Por exemplo: se quisermos saber a possibilidade total de termos um veículo de 1971, ela é de 1000 veículos num total de 3500 veículos em estudo.

De onde surge o valor “1000”? Surge da soma de todas as intersecções do ano 1971 com a variável “marca”.

Assim, poderíamos dizer que a probabilidade total de vender um carro de 1971 é dada por:

P(1971) = P(1971∩Mini) + P(1971∩Renault 4) + P(1971∩Toyota Corolla)

Generalizando: perante um acontecimento “A” e um acontecimento “B” particionado em “n” fragmentos (B1; B2; B3; …; Bn), a probabilidade total de “A” é definida por:

P(A) = P(A∩B1) + P(A∩B2) + P(A∩B3) + … + P(A∩Bn)

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